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《我的世界》搞數(shù)學(xué)研究，估算歐拉數(shù)誤差僅0.00766%！數(shù)學(xué)博士的跨界花活兒火了

量子位整合編輯：太平洋科技發(fā)布于：2024-12-12 16:03

在《我的世界》里估算歐拉數(shù)e，誤差僅約0.00766%！

兩位數(shù)學(xué)博士“跨界”整了個大大大活兒——

用《我的世界》搞數(shù)學(xué)研究，通過游戲機制成功估算各種數(shù)學(xué)常數(shù)的值。

√2、π、歐拉數(shù)e、阿佩里常數(shù)ζ(3)，難度逐級遞增，但都是他們的實驗對象。

對于阿佩里常數(shù)ζ(3)，用這兩位作者的話說，一般人可能見都沒見過，但也能用《我的世界》近似算出值來，而且誤差僅約為0.4%。

實驗結(jié)合游戲機制用到了各種方法，比如近似π值時，使用了蒙特卡洛積分法，借助游戲中的僵尸疣豬獸殺死史萊姆來完成。

兩位作者分別是來自自霍林斯大學(xué)、美國羅諾克大學(xué)的助理教授。

論文中，他們不僅介紹了每個常數(shù)的數(shù)學(xué)歷史背景，詳細(xì)說明了如何在《我的世界》中設(shè)計實驗來近似計算這些值，甚至還提出了具體的改進建議，為大伙兒留下了“課后作業(yè)”來挑戰(zhàn)。

作者強調(diào)這些實驗的目的不是為了獲得最精確的近似值，而是為了激發(fā)大家從這項研究中找到靈感，用有趣的方式探討復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。

希望本文能夠展示一小部分?jǐn)?shù)學(xué)與《我的世界》結(jié)合的可能性，并激勵人們以有趣和引人入勝的方式探索復(fù)雜的數(shù)學(xué)主題。雖然我們選擇使用《我的世界》來近似無理數(shù)，但我們相信還有許多其它環(huán)境適合進行此類實驗。

所以，究竟是如何做到的？

用《我的世界》近似數(shù)學(xué)常數(shù)的值

在估算數(shù)學(xué)常數(shù)前，先來淺淺了解一下《我的世界》中將被用作“實驗道具”的材料。

漏斗（Hopper）：

如果一個玩家/動物/怪物站在漏斗上方被殺死，那么漏斗會收集該生物掉落的物品。因此，漏斗可以用來記錄生物被殺死的位置。

除收集物品外，漏斗還具有另一個特性，它們可以以每秒2.5個物品的恒定速率釋放物品。漏斗釋放物品的能力可以開啟或關(guān)閉。

由于漏斗以恒定速率釋放物品，它們可以用作計時器。例如，如果一個漏斗釋放了25個物品，那么我們知道漏斗釋放物品的時間在10秒到10.4秒之間。

當(dāng)然《我的世界》中有制作更精確計時器的方法，但對于該實驗來說，漏斗計時器夠用。

投擲器（dropper）：

投擲器是一個可以投擲物品的方塊，可同時容納9種不同物品。

當(dāng)被激活時，投擲器會隨機選擇其中的一個物品進行投擲。因此，投擲器可以用作隨機化工具。例如，如果投擲器中有5種不同的物品，那么特定物品被投擲出去的概率是1/5。

偵測器（observer）：

偵測器是一個方塊更新檢測器，可以檢測到它面對的方塊狀態(tài)是否發(fā)生變化。

一個方塊可能發(fā)生的變化包括作物生長、冰融化、火勢蔓延……這些變化是隨機發(fā)生的，因此可以通過偵測器檢測這些變化來創(chuàng)建一個隨機化工具。

接下來就可以玩“數(shù)學(xué)游戲”啦～

PS：題目難度由簡入難

√2

早在2000多年前，畢達哥拉斯學(xué)派用反證法證明了√2不能寫作兩整數(shù)之比，√2也成為了人們發(fā)現(xiàn)的第一個無理數(shù)。

現(xiàn)在，√2也是該研究第一個要用《我的世界》估算的數(shù)學(xué)常數(shù)。

方法利用了45°-45°-90°直角三角形的邊長比是1 : 1 : √2。

這樣的三角形在《我的世界》中很容易制作，因為《我的世界》中，放置任何方塊都必須放在網(wǎng)格上。

要近似計算√2的值，可以簡單地分別測量玩家以恒定速度沿著一條直角邊和斜邊行走所需的時間，斜邊長度是直角邊的√2倍，行走時間比率也應(yīng)該近似為√2。

如前所述，漏斗以恒定速率釋放物品，可以計算玩家行走期間所釋放的物品數(shù)量，以此來計時。

實驗中，沿著斜邊行走完，漏斗釋放了57個物品，沿著一條直角邊行走完，漏斗釋放了41個物品。

所以得出：

√2保留到小數(shù)點后四位是√2=1.4142，所以近似值誤差為1.70%。

作者還表示這種方法還可以改進：

一個很明顯的改進方法是構(gòu)建一個更大的三角形，近似值將更準(zhǔn)確。或者可以讓行走速度變慢，玩家可以在出發(fā)前喝下緩慢藥水。

以此類推可以估算√5的值，但√7不行，7不能表示為兩個完全平方數(shù)的和。

這引出了一個問題：哪些數(shù)字可以表示為兩個平方數(shù)的和？

作者認(rèn)為對于幾何學(xué)老師來說，可以使用這樣的實驗向幾何學(xué)生介紹基本的數(shù)論。

下一個要估算的數(shù)學(xué)常數(shù)是——

1768年約翰·海因里�！だ什↗ohann Heinrich Lambert）證明π是無理數(shù)。1882年費迪南德·馮·林德曼（Carl Louis Ferdinand von Lindemann）首次證明π是超越數(shù)。

希臘數(shù)學(xué)家阿基米德通過在圓內(nèi)外構(gòu)建正多邊形，為π的值找到了上下界。當(dāng)使用96邊形時，阿基米德發(fā)現(xiàn)3.1408<π<3.1429。

計算機的發(fā)展帶來了計算π值的不同方法。蒙特卡洛方法就是其中一類，通過評估多次隨機試驗的結(jié)果來近似值。

蒙特卡洛方法中的一種，蒙特卡洛積分，通過繪制一個內(nèi)切于正方形的單位圓，然后在正方形內(nèi)均勻隨機地散布點。

由于圓的面積是π，正方形的面積是4，圓內(nèi)點的數(shù)量與總點數(shù)的比將大致等于π/4。

《我的世界》中同樣可以重現(xiàn)蒙特卡洛積分法，近似計算π值。

《我的世界》中的每個方塊都放置在網(wǎng)格上，所以無法制作一個完美的圓形。然而，網(wǎng)上有許多工具可以在《我的世界》中近似劃定一個圓的邊界。

作者使用了一個《我的世界》圓形生成器，做了一個半徑為11的近似圓形：

接下來的問題是找一種在《我的世界》中生成隨機點的方法。

為此，作者利用了一種叫做“史萊姆”的生物的行為。使用史萊姆是因為與其他生物不同，當(dāng)附近沒有玩家時史萊姆會繼續(xù)移動，并且它們會隨機改變方向。

而大多數(shù)其他生物有向東南方向行走的傾向，所以它們會聚集在正方形的東南角。

接著作者們讓另一種生物——僵尸疣豬獸（zoglin），殺死史萊姆，使用漏斗跟蹤史萊姆是否在圓內(nèi)被殺死。

在實驗中，共有619個史萊姆被殺死，其中508個是在圓內(nèi)被殺死的。

所以得到了近似值：

近似誤差為4.49%。

因為蒙特卡洛方法通常收斂較慢，所以作者表示對這個相對較大的誤差并不驚訝。

如果童鞋們自己想嘗試的話，改進方法：增大圓的大小和增加被殺死的史萊姆數(shù)量。

在這種蒙特卡洛方法中，圓的大小通常不會影響近似值的準(zhǔn)確性，但由于在《我的世界》中無法制作完美的圓形，增大圓的大小將提高近似值的準(zhǔn)確性。

同樣，用來近似計算π值的方法，也可以用來近似計算其它定積分的值。

例如，假設(shè)你想使用《我的世界》進行蒙特卡洛積分以近似計算積分：

通過作者創(chuàng)建的Desmos頁面的幫助，可以繪制出y=f(x)曲線與x軸之間的區(qū)域。

回想一下，定積分∫ₐᵇf(x) dx的值是由曲線y=f(x)與x軸在x=a到x=b之間圍成的區(qū)域的凈面積。

因此，在《我的世界》中近似計算定積分的一個方法是，首先找出在x軸上方區(qū)域和x軸下方區(qū)域死亡的史萊姆數(shù)量之間的差異。

將這個差異乘以總面積再除以死亡的史萊姆總數(shù)，就可以得到定積分值的近似值。在《我的世界》中，可以用下面這個函數(shù)近似曲線y=f(x)：

這里⌊x⌉將x四舍五入到最近的整數(shù)。

作者們表示這可能是一個有趣的實驗，適用于正在學(xué)習(xí)積分微積分的學(xué)生。

歐拉數(shù)e

接下來繼續(xù)上難度——歐拉數(shù)e，歐拉數(shù)e的值保留到小數(shù)點后五位是e=2.71828。

大家可能記得e是自然對數(shù)的底數(shù)，也是復(fù)合利息公式的一部分。它被定義為以下極限：

雖然以e為底的對數(shù)計算早在1618年就已經(jīng)開始，但那時并沒有使用e這個符號。

所謂的e“發(fā)現(xiàn)”最早是由雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）在1638年研究連續(xù)復(fù)利時偶然發(fā)得出的，他嘗試計算上述極限，利用二項式定理證明了e的值在2和3之間，但當(dāng)時e還沒有一個具體的名字或更精確的近似值。

歐拉（Euler）最終將對數(shù)與e這個數(shù)聯(lián)系起來，他計算了上述極限，并用符號e表示其值，1737年證明了e是無理數(shù)。到了1873年，查爾斯·埃爾米特（Charles Hermite）進一步證明了e是超越數(shù)。

話說回來，在《我的世界》中近似e的值，要了解歐拉1748年提出的e的表達式：

現(xiàn)在考慮函數(shù)f(x)=eᕽ，這個函數(shù)可以用它的麥克勞林級數(shù)表示為：

注意，當(dāng)x=−1時，得到到1/e的交錯級數(shù)展開式：

我們將看到，這個表達式的第n個部分和是一個特定計數(shù)問題的解。

現(xiàn)在描述這個問題，令：

定義：[n]的排列是[n]中元素的一個確定順序的排列。

[n]的排列可以看作數(shù)字1到n的線性排序。例如，[3]的排列包括123、132、213、231、312和321。[n]的排列總數(shù)是：

這個乘積傳統(tǒng)上用n!表示。

定義：一個錯位排列是沒有固定點的[n]的排列。

換句話說，如果ω是[n]的一個排列，那么那么當(dāng)且僅當(dāng)

ω是一個錯位排列。

例如，考慮[6]的以下排列：ω=324165。這不是一個錯位排列，因為數(shù)字2在第二個位置，即ω₂=2。

然而，排列ν=431562是一個錯位排列，因為：

我們用D(n)表示[n]的錯位排列數(shù)，可以證明：

比較等式（2）和（3），可以看到

給出了等式（2）的第n個部分和。

因此，可以看到1/e近似等于隨機排列是錯位排列的概率。特別地：

了解了這些過后，在《我的世界》中如何近似計算？

兩位作者制造了一臺機器，這臺機器能：

生成一個排列；

檢查該排列是否為錯排。

一旦機器被制造出來，就讓它運行多次，生成足夠大的樣本。

如前所述，投擲器可以用作隨機器。由于投擲器最多可以容納9種不同的物品，所以可以利用其隨機彈出機制來創(chuàng)建 [9]的排列。

投擲器中的每個格子對應(yīng)[9]中的一個數(shù)字。彈出的物品的順序可以被視為一個排列。而且在《我的世界》中是有方法可以自動檢查投擲器彈出了哪個物品。

具體如何操作這里就不多贅述了。

因此，可以制造一臺機器來檢查所生成的排列是否為錯排。這是通過檢查與某個數(shù)字對應(yīng)的格子是否在那個位置被彈出來實現(xiàn)的。

如果9個格子中的每一個都被彈出到了與它們編號不對應(yīng)的位置，那么這個排列就是一個錯排。

作者在實驗生成的排列中，錯排比例大約是1/e。也就是說：

共生成了647個排列，其中238個是錯排。所以e的近似值：

近似誤差大約是0.00766%，準(zhǔn)確度非常高了。

作者表示如果讓機器無限運行，1/e的近似誤差將小于：

兩位作者同樣再次鼓勵大家自己嘗試一下，或許還能搞個新定義：

如果一個排列ω的條目交替上升和下降，那么稱這個排列為交錯排列，即ω1<ω2>ω3< ….例如，排列1423是交錯的，但排列1342不是，因為ω2≯ ω3。如果讓An表示[n]的交錯排列數(shù)，那么安德烈定理（André’s Theorem）表明：

這意味著你可以使用《我的世界》來近似計算sec(1)+tan(1)的值。

布置完“課后作業(yè)”，兩位助理教授還特意留下這么一句話：

如果你完成了這個實驗，請聯(lián)系作者并告訴我們你的結(jié)果。

還沒完，還有一個數(shù)學(xué)常數(shù)，而且可能是你以前未曾見過的。

用作者的話說，即使你遇到過它，可能也不知道它有一個名字——

阿佩里常數(shù)ζ(3)

ζ(3)，被定義為正立方數(shù)倒數(shù)的和，即：

之所以被記為ζ(3)，是因為它是在s=3時黎曼ζ函數(shù)（Riemann zeta function）的值。

一般來說，黎曼ζ函數(shù)定義為：

歐拉證明了黎曼ζ函數(shù)的以下乘積公式：

阿佩里常數(shù)的值保留到小數(shù)點后五位是 ζ(3) = 1.20205。

1979年，羅杰·阿佩里（Roger Apéry）證明了ζ(3)是無理數(shù)。這個數(shù)字是否是超越數(shù)目前仍然是一個未解決的問題。

阿佩里常數(shù)有各種級數(shù)和積分的表示形式。其中一些表示形式非常復(fù)雜。

然而，作者表示阿佩里常數(shù)的值可以通過概率方法確定，阿佩里常數(shù)的倒數(shù)是隨機選取的任意三個正整數(shù)互質(zhì)的概率。

為什么：

要使三個正整數(shù)互質(zhì)，就不能有任何質(zhì)數(shù)同時整除這三個數(shù)。例如，6、9、21不是互質(zhì)的，因為它們都可以被3整除。對于一個質(zhì)數(shù)p，p整除一個隨機整數(shù)的概率是1/p。因此，p同時整除這三個數(shù)字的概率是1/p³。

這意味著至少有一個數(shù)字不被p整除的概率是：

讓P₃表示三個隨機選定的正整數(shù)互質(zhì)的概率，由此得出：

比較等式（4）和（5），可以看出：

OK，那在《我的世界》中如何近似計算阿佩里常數(shù)。

作者們反復(fù)生成了三個隨機數(shù)的集合，稱為三元組，并手動檢查這些數(shù)字是否互質(zhì)。互質(zhì)的三元組的比例將大約等于 ζ(3) 的倒數(shù)。

如前文所述，《我的世界》中偵測器能夠檢測到它面對的方塊狀態(tài)的變化。

而《我的世界》中許多方塊會在隨機間隔改變狀態(tài)。通常，每0.05秒，游戲隨機選擇一個16×16×16的立方體中的3個方塊來改變狀態(tài)。如果選定的方塊有改變狀態(tài)的能力，它們將以一定的預(yù)定概率改變狀態(tài)。

為了生成一個隨機數(shù)三元組，作者安排了三個偵測器，每個偵測器面對自己的竹子植物，還使用了一個漏斗計時器來記錄每個竹子植物改變狀態(tài)所需的時間。

belike：

需要注意的是，生成的隨機數(shù)并不遵循均勻分布，而是遵循負(fù)二項分布。

在實驗中，作者收集了70個隨機數(shù)三元組，發(fā)現(xiàn)58個三元組是互質(zhì)的。

于是得到ζ(3)的近似值：